Евгений Александрович Моргунов родился 27 апреля 1927 года в Москве.
Азам актерского мастерства Евгений Моргунов обучался в мастерской у Тамары Федоровны Макаровой и Сергея Аполлинариевича Герасимова во ВГИКе. Окончив ВГИК в 1948 году, получил место в составе труппы Театра киноактера.
Кинематографически дебют Моргунова состоялся в 1944 году с второстепенной ролью в военной мелодраме «В шесть часов вечера после войны», однако по-настоящему обратить на себя внимание актеру удалось только лишь четыре года спустя, исполнив роль Почепцева в военной драме «Молодая гвардия» (1948).
За свою жизнь Евгений Моргунов исполнил около сотни ролей, прославившись на весь Советский Союз в роли Бывалого в комедиях легендарного советского режиссера Леонида Гайдая: «Пес Барбос и необыкновенный кросс» (1960), «Самогонщики» (1961), «Операция «Ы» и другие приключения Шурика» (1965), «Кавказская пленница, или новые приключения Шурика» (1966).
Как уже упоминалось выше, всесоюзной известности актер обязан роли Бывалого в комедиях Гайдая, однако это далеко не единственная достойная внимания работа этого талантливейшего актера. В числе наиболее удачных работ Евгения Александровича Моргунова в кино, роли в картинах: «Сказка о потерянном времени» (1964), «Три толстяка» (1966), «Ехали в трамвае Ильф и Петров» (1972), «Покровские ворота» (ТВ) (1982).
Стоит заметить, что Евгений Моргунов работал не только в качестве актера. На его счету четыре сценария, по одному из которых в 1962 году он поставил свою первую и последнюю картину «Когда казаки плачут».
Евгений Моргунов ушел из жизни 25 июня 1999 года в московской Центральной клинической больнице. Причина смерти 73-летнего актера - инсульт.