Алексей Горбунов родился 29 октября 1961 года в Киеве (СССР (Украина)).
Азам актерского мастерства обучался на курсах Константина Степанкова в Киевском государственном институте театрального искусства имени Ивана Карпенко-Карого. Окончив обучение в 1984 году, получил место в Театре-студии киноактера киностудии им. А. Довженко.
Приблизительно в это же время Алексей дебютировал и в большом кино, стартовав сразу же с главной роли в картине Владимира Попкова «Груз без маркировки» (1984). Свою роль Горбунов исполнил без преувеличения блестяще. Профессионалы от кинематографа заговорили о восхождении новой звезды. Несмотря на столь обнадеживающее начало, в последующие несколько лет актера приглашали на второстепенные, а иногда и эпизодически роли: «Приближение к будущему» (1986), «Филер» (1987), «Новые приключения янки при дворе короля Артура» (1988) и т.п.
Девяностые годы принесли актеру много новых ролей, в том числе несколько главных: «Фучжоу» (1993), «Грешница в маске» (1993). Но так как, большинство из этих картин не имели сколько-нибудь заметного успеха, популярности актеру эти роли не прибавили. Одной из немногих по-настоящему заметных работ актера этого периода, стала роль шута Шико в популярном телевизионном сериале «Королева Марго» (1997).
Впрочем, несмотря ни на что, к началу нового тысячелетия Алексей Горбунов являлся одним из наиболее востребованных актеров российского кинематографа. Так только лишь за последние восемь лет он исполнил около пятидесяти ролей!
В числе наиболее удачных проектов 21-го века с участием Алексея: «День рождения Буржуя» (сериал) (2000 - 2001), «Кармен» (2003), «Даже не думай 2: Тень независимости» (2004), «Мы умрем вместе» (2004), «Статский советник» (2005), «Охота на пиранью» (2006), «Меченосец» (2006), «Дикари» (2006), «12» (2007) и некоторые другие.
Стоит заметить, что одной лишь только работой в кино деятельность Алексея Горбунова не ограничивается. Некоторое время он солировал в группе «Грусть без маркировки». Организовал и ведет дискотеки «Джуманджи» и «Джанкой» в Киеве. Какое-то время вел программу «Ночной будильник» на одном из украинских каналов, а в качесте DJ-я на Киевских радиостанциях («Ностальжи» и др.) продолжает работать и сегодня.
Проживает вместе со своей женой, художницей Светланой Лопуховой.